Aplicações de transformadas de Fourier unilaterais em sistemas quânticos simples e familiares

Abstract

Neste trabalho implementamos a técnica da transformada de Fourier unilateral para resolver a equação de Schrödinger independente do tempo. Para começar, aprofundamos o conhecimento sobre a transformada de Fourier unilateral e seu processo de inversão, cuidando das condições de contorno apropriadas. Notadamente, a transformada seno de Fourier obedece à condição de contorno homogênea de Dirichlet na origem, enquanto a transformada cosseno de Fourier obedece à condição de contorno homogênea de Neumann na origem. Posteriormente, efetuamos sucessivas derivações nas transformadas de Fourier unilaterais com o intuito de observar quando há interferências entre as transformadas seno e cosseno de Fourier. Também foi feito um estudo do comportamento das derivadas das transformadas de Fourier unilaterais próximo à origem. Essas propriedades diferenciais nos mostraram uma quantidade restrita de equações diferenciais cujas resoluções serão eficientes por intermédio das transformadas de Fourier unilaterais. Possivelmente, esse número restrito de equações resolvíveis se dá justamente devido à interferência entre as transformadas seno e cosseno que ocorre dependendo da ordem da derivada das transformadas. Após feito o estudo da transformada de Fourier unilateral e suas propriedades, abordamos a partícula numa caixa centrada na origem por intermédio da transformada de Fourier unilateral. Para um potencial simétrico em relação à origem, as autofunções possuem paridades definidas: autofunções pares obedecem à condição de contorno homogênea de Neumann na origem quando então é conveniente utilizar a transformada cosseno de Fourier, enquanto autofunções ímpares obedecem à condição de contorno homogênea de Dirichlet na origem, neste caso é apropriado usar a transformada seno de Fourier. Essas condições, juntamente com as condições de contorno de Dirichlet nos extremos da caixa, resultaram nas transformadas de Fourier unilaterais finitas, que estabelecem uma estreita relação com as séries de Fourier. Esta observação nos levou diretamente à resolução do problema. Em seguida, aplicamos a transformada de Fourier unilateral na equação do oscilador harmônico quântico unidimensional. Primeiramente, foi necessário uma transformação funcional adicional, pois a transformada de Fourier unilateral aplicada à equação de Schrödinger não resultou em uma equação mais simples. O problema em questão dispõe de um potencial par definido no intervalo (−∞,∞), isso permitiu focar nossa atenção ao semieixo positivo aplicando a transformada de Fourier unilateral neste semieixo. Assim, após obter o resultado desejado, realizamos a inversão da transformada e efetuamos sua extensão adequada: simétrica para autofunções pares ou antissimétrica para autofunções ímpares. Além disso, houve a necessidade de utilizar propriedades diferenciais das transformadas de Fourier unilaterais inversas. O problema foi resolvido a partir da autofunção relacionada ao nível de energia mais baixo.

In this work we implement the unilateral Fourier transform technique to resolve the time-independent Schrödinger equation. At first, we introduced and developed concepts related to unilateral Fourier transform and the inversion process, taking care of the appropriate boundary conditions. Of special importance, the Fourier sine transform obeys the homogeneous Dirichlet boundary condition at the origin, while the Fourier cosine transform obeys the homogeneous Neumann boundary condition at the origin. Subsequently, we performed successive derivations in the unilateral Fourier transforms to observe when there are interferences between the sine and cosine Fourier transforms. A study of the behavior of the derivatives of unilateral Fourier transforms at the origin was also carried out. These differential properties showed us a restricted amount of differential equations whose resolutions will be efficient through unilateral Fourier transforms. Possibly, this restricted number of solvable equations is precisely due to the interference between the sine and cosine transforms, which occurs depending on the order of the derivative of the transforms. After studying the unilateral Fourier transforms and their properties, we approach the particle in a box centered at the origin through the unilateral Fourier transform. For a symmetrical potential in relation to the origin, the eigenfunctions have definite parities: even eigenfunctions satisfy the Neumann homogeneous boundary condition at the origin when it is then convenient to use the Fourier cosine transform, while odd eigenfunctions obey the Dirichlet homogeneous boundary condition at the origin, in this case it is appropriate to use the Fourier sine transform. These conditions, along with the Dirichlet boundary conditions at the ends of the box, resulted in finite unilateral Fourier transforms, which establish a close relationship with the Fourier series. This observation led us directly to the resolution of the problem. After this, we apply the unilateral Fourier transform on the one-dimensional quantum harmonic oscillator equation. First, an additional functional transformation was necessary, because the unilateral Fourier transform applied to the Schrödinger equation did not result in a simpler equation. The problem in question has a potential even defined in the interval (−∞,∞), this allowed us to focus our attention on the positive semi-axis by applying the unilateral Fourier transform on this semi-axis. Thus, after obtaining the desired result, we performed the inversion of the transform and carried out its appropriate extension: symmetric for even eigenfunctions or antisymmetric for odd eigenfunctions. Furthermore, there was a need to use differential properties of inverse unilateral Fourier transforms. The problem was solved from the eigenfunction related to the lowest energy level.