Corpos abelianos e aplicações

Abstract

Neste trabalho, serão estudados os corpos abelianos, com ênfase nos corpos ciclotômicos, visando a aplicação desses corpos no estudo de empacotamentos reticulados. Para tanto, serão apresentados conceitos fundamentais da teoria algébrica dos números, tais como o anel dos inteiros algébricos, o traço e a norma relativos, além de explorar a teoria de Galois e exibir o discriminante dos corpos ciclotômicos. Nesse contexto, esse estudo será utilizado para construção de reticulados algébricos do espaço euclidiano Rn, onde n = p − 1 com p primo e na obtenção de resultados sobre a densidade de centro destes. A conexão entre as propriedades algébricas dos corpos ciclotômicos e a geometria dos empacotamentos esféricos será explorada, evidenciando a relevância desses corpos tanto no contexto teórico quanto em aplicações práticas.

In this work, abelian fields will be studied, with a particular focus on cyclotomic fields, aiming to apply these fields to the study of lattice packings. To this end, fundamental concepts from algebraic number theory will be introduced, such as the ring of algebraic integers, the relative trace and norm, as well as an exploration of Galois theory and the computation of the discriminant of cyclotomic fields. The study will then be applied to the construction of algebraic lattices in Euclidean space Rn, where n = p − 1 and p is a prime number, and to obtaining results on the center density of these lattices. The connection between the algebraic properties of cyclotomic fields and the geometry of sphere packings will be explored, highlighting the relevance of these fields in both theoretical contexts and practical applications.