Leis de escala e transientes no mapa logistic-like perturbado

Abstract

Nesta dissertação consideramos o mapa logistic-like com parâmetro de controle perturbado por uma pequena função periódica. Fazendo uma escolha apropriada de alguns parâmetros podemos recuperar mapeamentos diferentes conhecidos na literatura. Propomos construir numericamente o diagrama de órbitas para analisar o comportamento dinâmico do sistema. Mostramos que considerando pequenas perturbações novos atratores podem aparecer no diagrama de ´orbitas de acordo com a escolha das condições iniciais, de modo que o comportamento do sistema passou a apresentar descontinuidade associadas a mudança de bacia de atração. Notamos que essas mudanças ocorrem quando as condições iniciais são atraídas para um novo atrator a medida que o parâmetro R se aproxima de um valor crítico Rc. Assim caracterizamos o transiente por uma lei de potência definida como τ = |Rc − R| −δ , onde δ o expoente do transiente. Determinamos o expoente de transiente para valores diferentes dos parâmetros de controle. Avançamos nossos estudos na investigação da convergência de órbitas para os pontos de equilíbrio próximo a bifurcação transcrítica. Utilizamos o formalismo de leis de escala descrito por uma função homogênea generalizada. Encontramos os expoentes críticos analítica e numericamente para determinar a classe de universalidade da bifurcação

In this dissertation we consider the logistic-like map with control parameter perturbed by a small periodic function. Making the appropriate choice of some of the parameters we can recover different mappings well known in the literature. We built to numerically construct the orbits diagram to analyse the dynamical behavior of the system. We show that considering small perturbations a new attractor may surge in the orbits diagram according to the choice of the initial conditions, so that the behavior of the system shows a discontinuity associated with the change of basins of attraction. We note that these changes occur when the initial conditions are attracted to a new attractor as the parameter R approaches a critical value Rc. We characterize the transient by a power law defined as τ = |Rc − R| −δ , where δ is the transient exponent. We determine the transient exponent for different values of the control parameter. We advance our studies to the investigation of the convergence of the orbits to the equilibria points close to a transcritical bifurcation. We use the scaling laws formalism described by a generalized homogeneous function. We find the critical exponents analytically and numerically to determine the universality of the bifurcation