Observações sobre o 'span' de determinadas classes de variedades

Abstract

Esta dissertação tem por finalidade apresentar parte do artigo [14] de P. Sanrakaran, onde é feita uma ampla discussão sobre o problema dos campos de vetores para os espaços homogêneos. O 'span' de uma variedade diferenciável M é definido como sendo o maior natural r tal que existem campos de vetores linearmente independentes em todos os pontos da variedade. Tomando como base alguns resultados e exemplos, nosso objetivo será determinar o span(M), ou obter uma boa aproximação para tal. Em especial, trabalharemos na Variedades de Stiefel e na Variedades de Stiefel Projetivas. Será apresenta algumas conjecturas propostas por J. Korbas e P. Zvengrowski no artigo [6]. Para que tal discussão seja possível, será necessário um estudo preliminar acerca de conceitos pertinentes para o entendimento e apreciação deste tema, tais como alguns tópicos de topologia algébrica, variedades diferenciáveis, fibrados vetoriais e classes características.

The purpose of this dissertation is to present the part of the P. Sanrakaran article [14], where the problem of vector fields for homogeneous spaces is widely discussed. The span of a smooth manifold M is defined to be the greatest natural r such that there are linearly independent vector fields at all points of the manifold. Based on some results and examples, our goal will be to determine the span (M), or to get a good approximation for it. In particular, we will work on Stiefel Manifolds and the Projective of Stiefel Manifolds. We present some conjectures proposed by J. Korbas and P. Zvengrowski in the article [6]. For the discussion to be possible, a preliminary study of relevant concepts for the understanding and evaluation of this theme will be necessary, such as some concepts of Algebraic Topology, smooth manifolds, vector bundles and characteristic classes.