Corpos de funções algébricas e teoria dos códigos

Abstract

A teoria de curvas algébricas possui diversas aplicações na matemática. Quando as estudamos sobre corpos finitos, obtemos aplicações na teoria de códigos, criptografia e geometria finita. Neste trabalho, tratamos da parte algébrica desta teoria, e nosso principal objeto de estudo são os corpos de funções algébricas, os quais veremos a princípio, sobre corpos arbitrários. Posteriormente, restringiremos para corpos finitos, e estaremos interessados no número de lugares racionais que um corpo de funções possui, e uma cota superior para este número. Serão apresentados também resultados que estimam seu gênero. As aplicações destes resultados culminam na existência de curvas maximais, e um código bastante importante: os códigos de Goppa.

The algebraic curves theory has several applications in mathematics. When we study them over finite fields, we get applications in code theory, cryptography and finite geometry. In this work, we deal with the algebraic part of this theory, and our main object of study are the algebraic functions fields, which we will see at first, over arbitrary fields. Later, we will restrict to finite fields, and we will be interested in the number of rational places that a function field has, and an upper bound for this number. Results that estimate its genus will also be presented. The applications of these results culminate in the existence of maximal curves, and a very important code: the Goppa codes.