Publication: Investigação de algumas propriedades dinâmicas no modelo Fermi-Ulam
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Date
Authors
Advisor
Oliveira, Juliano Antônio de 
Coadvisor
Graduate program
Undergraduate course
São João da Boa Vista - FESJBV - Engenharia Aeronáutica
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Type
Undergraduate thesis
Access right
Acesso aberto
Abstract
Abstract (portuguese)
O presente trabalho está fundamentado na teoria de sistemas dinâmicos. Para o estudo apresentado
será considerado o modelo Fermi-Ulam, o qual consiste na dinâmica unidimensional de uma partícula
clássica de massa m, que por sua vez se encontra confinada no interior de duas paredes rígidas e
é passível de sofrer colisões elásticas com as paredes. Essa dinâmica será definida primeiramente
pelo modelo completo, descrito por um mapeamento discreto bidimensional nas variáveis velocidade
da partícula e fase da parede móvel, uma vez que há movimento oscilatório de uma das paredes. O
espaço de fase será construído realizando extensivas simulações numéricas permitindo observar uma
estrutura mista composta por um mar de caos em volta de ilhas periódicas e limitado por curvas
invariantes spanning. A partir dos resultados será demonstrada a adequação e verossimilhança do
modelo simplificado, que por sua vez também consiste em um mapeamento bidimiensional descrito
nas variáveis velocidade v da partícula e fase φ da parede. A simplificação do modelo tem a finali-
dade de facilitar a programação e diminuir o esforço computacional sem afetar significativamente
a congruência dos resultados. Serão expostos os resultados dos espaços de fase para cada versão
do modelo estudado. Em seguida demonstraremos o estudo acerca do escape de partículas no mar
de caos, onde as correspondências dos expoentes dinâmicos do sistema serão expostas por diversos
gráficos, os expoentes por sua vez, serão determinados numericamente. Também será realizado um
estudo dos expoentes numéricos da probabilidade de sobrevivência e escape de partículas, bem como
o expoente de Lyapunov para caracterizar o caos. Com esse trabalho, será possível verificar que o
modelo é conservativo, pois seu mapeamento preserva área no espaço de fase, também será provado
matematicamente que se trata de um sistema dinâmico não linear, já que o expoente de Lyapunov
referente a esse modelo possui valor positivo.
Abstract (english)
The present work is grounded in the theory of dynamic systems. For the study presented, the Fermi-
Ulam model will be considered, which consists of the one-dimensional dynamics of a classical
particle of mass m, confined between two rigid walls and subject to elastic collisions with them.
This dynamics will first be defined by the complete model, described by a two-dimensional discrete
mapping of the particle’s velocity and the phase of the movable wall, as there is oscillatory motion of
one of the walls. The phase space will be constructed by performing extensive numerical simulations,
allowing us to observe a mixed structure composed of a sea of chaos surrounding periodic islands and
bounded by invariant curves. From the results, the adequacy and plausibility of the simplified model
will be demonstrated, which also consists of a two-dimensional mapping described in terms of the
particle’s velocity v and the phase φ of the wall. The simplification of the model aims to facilitate
programming and reduce computational effort without significantly affecting the congruence of the
results. The results of phase spaces for each version of the studied model will be presented. Then we
will demonstrate the study on particle escape in the sea of chaos, where the correspondences of the
dynamic exponents of the system will be shown through various graphs, with the exponents being
determined numerically. A study of the numerical exponents of particle survival and escape probability,
as well as the Lyapunov exponent to characterize chaos, will also be conducted. With this work, it will
be possible to verify that the model is conservative, as its mapping preserves area in the phase space.
It will also be mathematically proven that it is a nonlinear dynamical system, since the Lyapunov
exponent related to this model has a positive value.
Description
Keywords
Comportamento caótico nos sistemas, Dinamica, Mapeamentos (Matemática)
Language
Portuguese
Citation
MAGIRI, M. F. M. Investigação de algumas propriedades dinâmicas no modelo Fermi-Ulam. 2024. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Engenharia Aeronáutica) — Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", São João da Boa Vista, 2024.
