Investigação de algumas propriedades dinâmicas no modelo Fermi-Ulam

Abstract

O presente trabalho está fundamentado na teoria de sistemas dinâmicos. Para o estudo apresentado será considerado o modelo Fermi-Ulam, o qual consiste na dinâmica unidimensional de uma partícula clássica de massa m, que por sua vez se encontra confinada no interior de duas paredes rígidas e é passível de sofrer colisões elásticas com as paredes. Essa dinâmica será definida primeiramente pelo modelo completo, descrito por um mapeamento discreto bidimensional nas variáveis velocidade da partícula e fase da parede móvel, uma vez que há movimento oscilatório de uma das paredes. O espaço de fase será construído realizando extensivas simulações numéricas permitindo observar uma estrutura mista composta por um mar de caos em volta de ilhas periódicas e limitado por curvas invariantes spanning. A partir dos resultados será demonstrada a adequação e verossimilhança do modelo simplificado, que por sua vez também consiste em um mapeamento bidimiensional descrito nas variáveis velocidade v da partícula e fase φ da parede. A simplificação do modelo tem a finali- dade de facilitar a programação e diminuir o esforço computacional sem afetar significativamente a congruência dos resultados. Serão expostos os resultados dos espaços de fase para cada versão do modelo estudado. Em seguida demonstraremos o estudo acerca do escape de partículas no mar de caos, onde as correspondências dos expoentes dinâmicos do sistema serão expostas por diversos gráficos, os expoentes por sua vez, serão determinados numericamente. Também será realizado um estudo dos expoentes numéricos da probabilidade de sobrevivência e escape de partículas, bem como o expoente de Lyapunov para caracterizar o caos. Com esse trabalho, será possível verificar que o modelo é conservativo, pois seu mapeamento preserva área no espaço de fase, também será provado matematicamente que se trata de um sistema dinâmico não linear, já que o expoente de Lyapunov referente a esse modelo possui valor positivo.

The present work is grounded in the theory of dynamic systems. For the study presented, the Fermi- Ulam model will be considered, which consists of the one-dimensional dynamics of a classical particle of mass m, confined between two rigid walls and subject to elastic collisions with them. This dynamics will first be defined by the complete model, described by a two-dimensional discrete mapping of the particle’s velocity and the phase of the movable wall, as there is oscillatory motion of one of the walls. The phase space will be constructed by performing extensive numerical simulations, allowing us to observe a mixed structure composed of a sea of chaos surrounding periodic islands and bounded by invariant curves. From the results, the adequacy and plausibility of the simplified model will be demonstrated, which also consists of a two-dimensional mapping described in terms of the particle’s velocity v and the phase φ of the wall. The simplification of the model aims to facilitate programming and reduce computational effort without significantly affecting the congruence of the results. The results of phase spaces for each version of the studied model will be presented. Then we will demonstrate the study on particle escape in the sea of chaos, where the correspondences of the dynamic exponents of the system will be shown through various graphs, with the exponents being determined numerically. A study of the numerical exponents of particle survival and escape probability, as well as the Lyapunov exponent to characterize chaos, will also be conducted. With this work, it will be possible to verify that the model is conservative, as its mapping preserves area in the phase space. It will also be mathematically proven that it is a nonlinear dynamical system, since the Lyapunov exponent related to this model has a positive value.