Bifurcação de Hopf: uma análise de escala

Abstract

The main goal of this work is to explore the evolution towards the steady state at and nearby the supercritical Hopf bifurcation with the ordinary differential equation (ODE) that describes the dynamics written in the normal form. In polar coordinates, the same system is then characterized by an angular and, a radial equation. We applied a scaling formalism similar the one used in statistical mechanics to describe phase transitions. By considering this formalism in the analysis of the radial equation at the bifurcation point, we used a phenomenological description characterized by scaling hypothesis to prove that a homogeneous function with three critical exponents describes the decay to the fixed point In turn, we discovered these exponents are related to each other by a scaling law of the type . In the other hand, the analysis of the angular equation at the bifurcation point shown that a homogeneous function with three new critical exponents related to each other by the same scaling law discussed previously also describes the decay to the steady state However, the analysis of the radial equation near the bifurcation point showed the convergence to the equilibrium point is described by an exponential decay with a relaxation time given by a power law of the type, where is a critical exponent. However, the analysis of the angular equation near the bifurcation point shown exactly the same critical exponents found at the bifurcation point. To sum up, we obtained by considering the convergence to steady state at and nearby the Hopf bifurcation the scaling properties and the critical exponents that characterizes the bifurcation in study. The knowledge of these exponents allows one to identify to what universality a bifurcation belongs to

O principal objetivo deste trabalho é investigar as propriedades de escala observadas na convergência para o estado estacionário na bifurcação de Hopf supercrítica. O sistema de equações diferenciais que descreve a dinâmica é escrito na sua forma normal de tal maneira que, em coordenadas polares, o mesmo é caracterizado por uma equação radial e outra angular. Determinamos também os expoentes críticos que caracterizam a convergência para o equilíbrio. Para tanto, utilizamos o formalismo de escala similar ao que é aplicado em transições de fase na física estatística. A análise de escala para a bifurcação de Hopf supercrítica revelou, a partir do estudo da equação radial, que no ponto de bifurcação, isto é, quando o parâmetro de controle do qual o sistema depende passa por um valor crítico, que a convergência para o ponto fixo é descrita por uma função homogênea que conduz a três expoentes críticos associados entre si por uma lei de escala. Por outro lado, o estudo da equação angular revelou que a convergência para estado estacionário no ponto de bifurcação também é descrita por uma nova função homogênea que conduz a três novos expoentes críticos. Estes, por sua vez, também encontram-se relacionados entre si pela mesma lei de escala obtida no estudo da equação radial. Após o evento de bifurcação, o estudo da equação radial revelou que a convergência para o estado estacionário passa a ser descrita por uma exponencial com um tempo de relaxação descrito por uma lei de potência, com um expoente . Contudo, em relação ao estudo da equação angular, os resultados encontrados para os expoentes críticos, após o evento da bifurcação, sugerem que a convergência para ao estado estacionário, na variável angular, é invariante ao ... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo)