Um estudo do espaço de parâmetros em mapeamentos bidimensionais discretos

Abstract

Neste trabalho consideraremos uma família de mapeamentos dissipativos bidimensionais discretos descritos nas variáveis ângulo (θ) e ação (I) parametrizados por ε que controla a intensidade de não linearidade no sistema. Inicialmente, no modelo conservativo, observamos no espaço de fases um mar caótico ao redor de ilhas periódicas e limitado por um conjunto de curvas invariantes spanning para diferentes combinações dos parâmetros de controle. Para caracterizar as órbitas do sistema, usamos os expoentes de Lyapunov. Estendemos os nossos estudos introduzindo uma dissipação δ ∈ [0,1) no sistema. Se δ = 1 recupera-se o mapeamento conservativo. Dada a escolha dos parâmetros de controle, a estrutura mista antes observada no sistema conservativo é aniquilada dando lugar ao surgimento de atratores caóticos que, por sua vez, puderam ser caracterizados de acordo com os expoentes de Lyapunov. Este comportamento caótico nos permitirá investigar um decaimento exponencial existente, tal qual foi descrito analiticamente. Por fim, construímos os espaços de parâmetros para o sistema dissipativo utilizando o cálculo do expoente de Lyapunov com o intuito de investigar as janelas de periodicidade. Em nossos estudos encontramos as estruturas conhecidas como shrimps e também outras classes de estruturas as quais buscamos investigar a organização. A partir disso, buscamos estender as nossas investigações recuperando o modelo Bouncer dissipativo a fim de explorar diferentes conjuntos e organizações estruturais em algumas janelas periódicas para este sistema.

In this work we will consider a family of discrete two-dimensional dissipative mappings described in the variables angle (θ) and action (I) parameterized by ε that controls the intensity of nonlinearity in the system. Initially, in the conservative model, we observed in the phase space a chaotic sea around periodic islands and limited by a set of invariant spanning curves for different combinations of the control parameters. To characterize the orbits of the system, we use the Lyapunov exponents. We extend our studies by introducing a dissipation δ ∈ [0,1) in the system. If δ = 1, the conservative mapping is recovered. Given the choice of control parameters, the mixed structure previously observed in the conservative system is annihilated, giving rise to the appearance of chaotic attractors which, in turn, could be characterized according to the Lyapunov exponents. This chaotic behavior will allow us to investigate an existing exponential decay, as described analytically. Finally, we constructed the parameter spaces for the dissipative system using the calculation of the Lyapunov exponent in order to investigate the periodicity windows. In our studies we found the structures known as shrimps and also other classes of structures which we seek to investigate the organization. From this, we seek to extend our investigations by recovering the dissipative Bouncer model in order to explore different sets and structural organizations in some periodic windows for this system