Teoremas de estabilidade para a homologia persistente

Abstract

Na análise topológica de dados, deseja-se compreender quais são as características topológicas do espaço subjacente de um determinado conjunto de dados, isto é: através de um conjunto discreto de pontos, obter uma forma contínua no qual pode-se fazer perguntas referentes às quantidades de componentes conexas, quantidades de buracos, e assim sucessivamente. Neste trabalho, apresentaremos os conceitos básicos da teoria da homologia persistente, como os diagramas de persistência, distância bottleneck e os teoremas de estabilidade, finalizando o trabalho com o estudo da persistent homotopy type distance, que objetiva expandir os conceitos aprendidos para situações em que não poder-se-ia aplicar a teoria básica de homologia persistente.

In topological data analysis, one wants to understand what are the topological characteristics of the underlying space of a given set of data, that is: through a discrete set of points, we want to obtain a continuous form in which questions can be asked regarding quantities of connected components, number of holes, and so on. In this work, we will present the basic concepts of persistent homology theory, such as persistence diagrams, the bottleneck distance and stability theorems, finishing the work with the study of the persistent homotopy type distance, which aims to expand the concepts learned for situations in which the basic theory of persistent homology could not be applied.