Um estudo sobre bases integrais de corpos de números

Abstract

Neste trabalho, apresentamos alguns conceitos básicos da teoria algébrica dos números tais como números algébricos, anel de inteiros algébricos e discriminante. Analisamos a base integral de um corpo quadrático, o qual é um resultado bastante conhecido, e apresentamos o conceito de inteiros mínimos, elementos p-integrais e bases p-integrais de um corpo de números K sobre Q. Estes conceitos são de extrema importância para determinar bases integrais para corpos cúbicos da forma Q(θ), com θ uma raiz de um polinômio irredutível sobre Z da forma f(t) = t^3 − at + b ∈ Z[t], sob certas condições específicas sobre os coeficientes a e b.

In this work, we present some basic concepts of the algebraic number theory such as algebraic numbers, ring of algebraic numbers and discriminant. We analyze the integral basis of a quadratic field, which is a well-known result, and we present the concept of minimal integers, p-integral elements and p-integral basis of a number field K over Q. These concepts are extremely important to determine integral basis for cubic fields of the form Q(θ), with θ a root of an irreducible polynomial over Z of the form f(t) = t^3−at+b ∈ Z[t], under certain specific conditions on the coefficients a and b.