Regularização de folheações descontínuas: blow up e condições de deslize via teoria de Fenichel

Abstract

Dada uma 1-folheação descontínua F definida em M − Σ, onde M é uma variedade suave e Σ ⊂ M é um subconjunto fechado de M interpretado como o locus de descontinuidade de F, neste trabalho generalizaremos o conceito de regularização para 1-folheações, considerando uma ampla família de funções de transição, com o objetivo de compreender o comportamento na região de descontinuidade destas folheações. Em um paralelo com as convenções de Filippov, serão definidas regiões de deslize e costura no locus de descontinuidade Σ para a regularização de uma folheação. Tais regiões podem ser interpretadas como um tipo de limite da dinâmica de uma 1-folheação suave próxima. Técnicas de perturbação singular, da teoria clássica de Fenichel e de blow ups serão utilizadas para obter condições suficientes para identificar as regiões de deslize e/ou costura da regularização de uma 1-folheação descontínua.

Given a discontinous 1-foliations F defined on M − Σ, where M is a smooth manifold and Σ ⊂ M is a closed subset interpreted as the discontinuity locus of F, in this work we will generalize the regularization concept to 1-foliations, considering a wide family of transition functions, with the objetive of understanding the behavior in the descontinuity region of those foliations. In parallel with the Filippov’s conventions, slide and sewing regions will be defined at the descontinuity locus Σ for the regularization of a foliation. Such regions can be interpreted as some sort of limit of the dynamics of a nearby smooth 1-foliation. Singular perturbation techniques, of classical Fenichel theory and blow ups will be used to obtain sufficient conditions to identify the slide and/or sewing regions of the regularization of a descontinuos 1-foliations