Um estudo de estabilidade estocástica via funções de Lyapunov

Abstract

O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo sobre as equações diferenciais estocásticas (EDEs) e propriedades qualitativas de sua solução, principalmente no que diz respeito a estabilidade estocástica via função de Lyapunov. Em um primeiro momento, foi necessário, com o intuito de fixar a notação utilizada no trabalho, introduzir alguns conceitos, como, por exemplo, o movimento browniano e a integral de Itô. Além disso, também achamos pertinente estudar o método de Lyapunov primeiro para o caso determinístico, pois desse modo ficaria mais fácil entender como o método se estende para as EDEs. Além disso, também foi feita uma análise qualitativa, com simulações, de uma aplicação do método em um modelo de crescimento populacional.

The objective of this work is to present a study on stochastic differential equations (SDEs) and qualitative properties of their solution, mainly with regard to stochastic stability via the Lyapunov function. At first, in order to establish the notation used in the work, it was necessary to introduce some concepts, such as, for example, Brownian motion and Itô’s integral. In addition, we also find it pertinent to study Lyapunov’s method first for the deterministic case, as this way it would be easier to understand how the method extends to SDEs. In addition, a qualitative analysis was also carried out, with simulations, of an application of the method in a population growth model.