Classes de Chern de hipersuperfícies complexas

Abstract

O objetivo deste trabalho é apresentar o conceito de classes de Chern para variedades complexas possivelmente singulares, que pode ser obtido utilizando diferentes ferramentas em várias áreas da Matemática, mas que aqui será explorado através da Geometria Algébrica. Estas classes são elementos de um grupo, chamado grupo de Chow, que tem analogia com os grupos de homologia da Topologia Algébrica e, na Topologia, representam uma obstrução para a extensão de campos de vetores e de r-referenciais no caso suave e a obstrução da existência de um referencial de vetores radiais no caso singular. Quando a variedade é suave, as classes de Chern estão associadas ao fibrado tangente da variedade, já no caso singular, como não existe este fibrado vetorial, mais ferramentas são necessárias, onde o conceito de classes de Segre é fundamental. Na finalização são apresentados resultados para hipersuperfícies complexas, relacionando com o conceito de número de Milnor, no caso de singularidades isoladas.

The objective of this work is to present the concept of Chern classes for possibly singular complex varieties, which can be obtained using different tools in various areas of Mathematics, but which will be explored here through Algebraic Geometry. These classes are elements of a group, called Chow group, which has an analogy with the homology groups of Algebraic Topology and, in Topology, they represent an obstruction to the extension of vector fields and r-references in the smooth case and the obstruction of the existence of a frame of radial vectors in the singular case. When the variety is smooth, the Chern classes are associated with the tangent bundle of the variety. In the singular case, as this vector bundle does not exist, more tools are needed, where the concept of Segre classes is fundamental. At the end, results are presented for complex hypersurfaces, relating to the concept of Milnor number, in the case of isolated singularities.