Representações matriciais de ordem 2 no estudo das sucessões de Fibonacci e de Lucas

Abstract

Neste trabalho, exploraremos as relações entre os números de Lucas e Fibonacci usando matrizes. Analisaremos as sequências de Fibonacci $(F_n)$ e de Lucas $(L_n)$ sob a ótica das $Q-$matrizes de Fibonacci e de Lucas, representadas por $Q_F=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ e $Q_L=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, da $M$-matriz de Fibonacci, representada por $M=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, e da $P$-matriz auxiliar, representada por $P=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$, uma vez que através da potenciação dessas matrizes, obtemos relações entre os termos das sequências mencionadas. Com o auxílio da álgebra matricial, demonstraremos conexões entre os termos das sequências $(F_n)$ e $(L_n)$, propriedades clássicas de divisibilidade, além de relações com o número de ouro.

In this work we will explore the relationships between the Lucas and Fibonacci numbers using matrices. We will analyze the Fibonacci sequence $(F_n)$ and the Lucas sequence $(L_n)$ from the viewpoint of the Fibonacci and Lucas $Q$-matrices, represented by $Q_F=\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$ and $Q_L=\begin{bmatrix}3 & 1\\1 & 2\end{bmatrix}$, the Fibonacci $M$-matrix, represented by $M=\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{bmatrix}$, and the auxiliary $P$-matrix, represented by $P=\begin{bmatrix}1 & 2\\2 & -1\end{bmatrix}$, since by taking powers of these matrices we obtain relations among the terms of the sequences mentioned. With the help of matrix algebra, we will demonstrate connections between the terms of $(F_n)$ and $(L_n)$, classical divisibility properties, and relations with the golden ratio.