Compreensão de uma transição de fase de difusão limitada para ilimitada em um sistema bilhar

Abstract

Neste trabalho estudamos diferentes aspectos das propriedades dinâmicas de um sistema bilhar ovóide. Apesar de ser um caso integrável para epsilon=0, para valores não nulos deste parâmetro observamos uma dinâmica mista no espaço de fases. A presença de caos, bem como a existência de órbitas heteroclínicas é, segundo a conjectura Loskutov-Ryabov-Akinshin (LRA), condição suficiente para observarmos aceleração de Fermi (crescimento ilimitado de energia) quando uma perturbação temporal na fronteira é introduzida. Este fenômeno, no entanto, não é robusto uma vez que a introdução de colisões inelásticas das partículas com a fronteira, bem como outras dissipações possíveis para o sistema, é suficiente para que o crescimento ilimitado de energia seja suprimido. A investigação e caracterização dessa específica transição de fase observada no bilhar dependente do tempo, de difusão limitada para ilimitada, conforme variamos um parâmetro de controle, é também objetivo deste projeto. É descrito na literatura que em uma transição de fase de segunda ordem, a variável dinâmica que descreve o parâmetro de ordem se aproxima a zero continuamente conforme nos aproximamos da transição, enquanto a susceptibilidade diverge. Além disso os observáveis que caracterizam a dinâmica são descritos por leis de potência, levando ao fenômeno de invariância de escala que é típico de transições de fase contínuas. Neste trabalho descreveremos propriedades do bilhar ovóide estático e dependente do tempo usando um conjunto de hipóteses de escala e uma função homogênea generalizada. A partir disso obtemos uma relação entre os expoentes críticos levando a leis de escala. A caracterização e definição destas classes de universalidade são essenciais para a descrição desse modelo uma vez que, apesar de muito se saber sobre os fenômenos de escala, o tipo de transição observada ainda é um caso a ser investigado, sendo os parâmetros de ordem, susceptibilidade e quebra de simetria do sistema ainda problemas em aberto.

In this work we investigate different aspects of the dynamical properties of a oval billiard system. Despite being an integrable system for epsilon=0, for non-zero values of this parameter we observe a mixed dynamics in the phase space. The presence of caos, as well as the existence of heteroclinic orbits is, according to the Loskutov-Ryabov-Akinshin (LRA) conjecture, sufficient condition to the occurrence of Fermi acceleration (unlimited energy growth) when a time perturbation of the boundary is introduced. However, this phenomenon is not robust since the introduction of inelastic collisions with the boundary, such as others possible dissipations in the system, is enough to suppress the unlimited energy growth. The investigation and characterization of the specific observed phase transition in the time dependent billiard from limited to unlimited diffusion due to the variation of a control parameter is also a goal of this project. It is described in the literature that in a second-order phase transition, the dynamic variable describing the order parameter approaches zero continuously as we approach the transition, while the susceptibility diverges. Furthermore, the observables that characterize the dynamics are described by power laws, leading to the phenomenon of scale invariance that is typical of continuous phase transitions. In this thesis we will describe properties of ovoid static and time-dependent billiards using a set of scaling hypotheses and a generalized homogeneous function. From this we obtain a relationship between the critical exponents leading to scaling laws. The characterization and definition of these universality classes are essential for the description of this model since, although much is known about the scale phenomena, the type of transition is still under investigation, being the parameters of order, susceptibility and system symmetry breaking still open problems.