Máximos e mínimos na geometria

Abstract

Problemas envolvendo máximos e mínimos possuem importantes aplicações na Matemática, nas Engenharias e na Economia. Na Matemática, diversos problemas geométricos envolvem a determinação de máximos e mínimos sob certas restrições, como, por exemplo, maximizar áreas e volumes. Alguns desses problemas podem ser tratados sem o uso do Cálculo Diferencial e Integral, sendo diretamente tratados no contexto da geometria euclidiana. Este trabalho tem como objetivo apresentar uma coletânea de problemas geométricos que envolvem máximos e mínimos, cujo foco principal é determinar soluções através do uso de construções, bem como na utilização de teorias e propriedades da geometria euclidiana, evitando cálculos excessivamente complexos ou aprofundados. As teorias e propriedades são sempre apresentadas e demonstradas antes de sua aplicação na resolução dos respectivos problemas, buscando assim um texto auto-contido. Além disso, todo o desenvolvimento inclui construções geométricas realizadas com o auxílio do software de geometria dinâmica GeoGebra. Dessa forma, espera-se oferecer à comunidade matemática um material didático rico em discussões e resoluções de problemas geométricos relevantes, contribuindo para o aprofundamento conceitual e a prática geométrica.

Problems involving maxima and minima have important applications in Mathematics, Engineering, and Economics. In Mathematics, various geometric problems involve determining maxima and minima under certain constraints, such as, for example, maximizing areas and volumes. Some of these problems can be addressed without the use of Differential and Integral Calculus, being directly handled within the context of Euclidean geometry. The aim of this work is to present a collection of geometric problems involving maxima and minima, with a primary focus on finding solutions through constructions, as well as the use of theories and properties of Euclidean geometry, avoiding excessively complex or advanced calculations. The theories and properties are always introduced and demonstrated before their application in solving the respective problems, thereby producing a self-contained text. Furthermore, the entire development includes geometric constructions carried out with the aid of the dynamic geometry software GeoGebra. In this way, the work aims to provide the mathematical community with didactic material rich in discussions and solutions to relevant geometric problems, contributing to conceptual understanding and geometric practice.