Caracterização do transiente caótico em crise de fronteira no modelo de Fermi-Ulam

Abstract

Boundary crisis are produced by the crossing of stable and unstable manifolds born at the same saddle fixed point. Such events happen due to the variation of a control parameter until it reaches a critical value. Before a boundary crisis both attracting fixed point and chaotic attractor coexist. As soon as the control parameter crosses a critical value, the chaotic attractor collides with its basin boundary causing the destruction of both. However, it is possible to observe, for a certain interval of time, unaltered characteristics of the chaotic attractor in the phase space. Such phenomenon is called as chaotic transient and its length is proportional to the distance measured from the critical parameter 𝛽𝑐 until a certain parameter 𝛽. The transient is described by an empirical equation of the type 𝜏 propto 𝜇𝛿, where 𝜇 is defined as 𝜇 = 𝛽 − 𝛽𝑐 and 𝛿 is a critical exponent. If 𝜇 = 0, the transient is infinite, hence a boundary crisis has not happened while for 𝜇 > 0 the transient is finite and measurable. We intend to measure such transient for a boundary crisis in the Fermi-Ulam model

Eventos de crise de fronteira são produzidos pelo cruzamento das variedades estáveis com instáveis oriundas de um mesmo ponto de sela. Tais eventos ocorrem devido à variação de um parâmetro de controle até um determinado valor crítico. Antes do evento de crise, tem-se a coexistência de pontos fixos assintoticamente estáveis e de atratores caóticos. Após o parâmetro atingir um valor crítico tal que o atrator caótico colide com a fronteira de sua bacia de atração, o atrator e sua bacia de atração são destruídos. Porém, nota-se que, por um curto intervalo de tempo, as características do atrator no espaço de fases se mantém inalteradas após o mesmo ter sido destruído. Tal fenômeno é chamado de transiente caótico, e seu comprimento é diretamente proporcional a distância medida do parâmetro crítico 𝛽𝑐 até um certo parâmetro 𝛽. O Transiente é descrito através de uma equação empírica, da qual 𝜏 é proporcional a 𝜇𝛿, onde 𝜇 é o espaçamento dos parâmetros 𝜇 = 𝛽 − 𝛽𝑐; e 𝛿 é um expoente crítico. É importante mencionar que se 𝜇 = 0 o transiente é infinito, o que significa que o fenômeno não ocorre. Se caso 𝜇 > 0, o transiente é mensurável. Com isso, pretende-se entender as leis de escala que regem o evento de crise de fronteira no modelo de Fermi-Ulam