Reticulados via álgebras dos quatérnios sobre corpos quadráticos imaginários e certos corpos ciclotômicos de grau potência de dois sobre os racionais

Abstract

Esta tese apresenta construções algébricas do reticulado E_8 por meio da técnica que denominamos construção via representação matricial de módulos. Essa abordagem fundamenta-se no uso de ideais principais contidos em ordens maximais de álgebras de divisão dos quatérnios definidas sobre corpos quadráticos imaginários com número de classe 1, restringindo-se àquelas que minimizam o volume de Tamagawa, parâmetro diretamente relacionado ao desempenho de códigos espaço-tempo em sistemas MIMO. Em continuidade, investigamos álgebras de divisão dos quatérnios sobre corpos da forma K = Q(\zeta_{n}), com n = 2^r e r \geq 2, e caracterizamos o volume de reticulados de dimensão 4n por meio do homomorfismo canônico \sigma_{A}, que associa elementos da álgebra a R^{4n}. Essa construção permitiu desenvolver reticulados associados a ordens maximais e a ideais à esquerda nessas ordens. Por fim, apresentamos uma construção explícita de um reticulado a partir de um Z-módulo contido em uma ordem maximal de uma álgebra dos quatérnios sobre K = Q(\zeta_8). As técnicas propostas ampliam as possibilidades de aplicação em criptografia e teoria dos códigos.

This thesis presents algebraic constructions of the E_8 lattice through a technique we refer to as the matrix representation of modules. This approach is based on the use of principal ideals contained in maximal orders of quaternion division algebras defined over imaginary quadratic fields with class number 1, restricted to those that minimize the Tamagawa volume, a parameter directly related to the performance of space-time codes in MIMO systems. Subsequently, we investigate quaternion division algebras over fields of the form K = Q(\zeta_{n}), with n =2^r and r \geq 2, and characterize the volume of 4n-dimensional lattices via the canonical homomorphism \sigma_{A}, which maps elements of the algebra to R^{4n}. This construction enabled the development of lattices associated with maximal orders and left ideals in such orders. Finally, we provide an explicit construction of a lattice from a Z-module contained in a maximal order of a quaternion algebra over K = Q(\zeta_8). The techniques introduced in this work broaden the range of potential applications in coding theory and cryptography.