Elliptic systems in population dynamics: a study with nonlocal diffusion coefficients

Abstract

Este trabalho investiga a existência e unicidade de estados de coexistência em sistemas elípticos não locais que modelam interações entre duas espécies, com difusão dependente da população de outra espécie ou da própria. O problema geral analisado é representado por um sistema de equações diferenciais parciais com condições de contorno apropriadas, em que os coeficientes de difusão dependem de integrais sobre o domínio. No primeiro modelo, analisamos a interação entre uma bactéria e um nutriente, considerando difusão não linear. Utilizamos os métodos de Bifurcação Local e Global, juntamente com o Teorema da Função Implícita, para determinar condições de existência e unicidade de soluções positivas. No segundo modelo, estudamos sistemas do tipo Lotka-Volterra com difusão cruzada não local, modelando interações de competição, predador-presa e simbiose. Investigamos a estabilidade de soluções semi-triviais e os estados de coexistência. No terceiro modelo, abordamos a competição de Lotka-Volterra com difusão não local, na qual a difusão depende da população de cada espécie. Garantimos a coexistência com base no princípio da exclusão competitiva. Os resultados destacam a importância da difusão não local na modelagem de interações biológicas e na dinâmica de coexistência.

This work investigates the existence and uniqueness of coexistence states in non-local elliptic systems that model interactions between two species, with diffusion dependent on the population of another species or on the same species. The general problem is formulated as a system of partial differential equations with appropriate boundary conditions, where the diffusion coefficients depend on integrals over the domain. In the first model, we analyze the interaction between a bacterium and a nutrient, considering nonlinear diffusion. We apply Local and Global Bifurcation methods together with the Implicit Function Theorem to determine conditions for the existence and uniqueness of positive solutions. In the second model, we study Lotka-Volterra systems with non-local cross-diffusion, modeling competition, predator-prey, and symbiosis interactions. We investigate the stability of semi-trivial solutions and coexistence states. In the third model, we address Lotka-Volterra competition with non-local diffusion, where diffusion depends on the population of each species. We ensure coexistence based on the competitive exclusion principle. The results highlight the importance of non-local diffusion in modeling biological interactions and coexistence dynamics.

Este trabajo investiga la existencia y unicidad de estados de coexistencia en sistemas elípticos no locales que modelan interacciones entre dos especies, con difusión dependiente de la población de otra especie o de la misma. El problema general estudiado se expresa mediante un sistema de ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de contorno adecuadas, donde los coeficientes de difusión dependen de integrales en el dominio. En el primer modelo, analizamos la interacción entre una bacteria y un nutriente, considerando difusión no lineal. Utilizamos los métodos de bifurcación local y global junto con el teorema de la función implícita para determinar las condiciones de existencia y unicidad de soluciones positivas. En el segundo modelo, estudiamos sistemas de tipo Lotka-Volterra con difusión cruzada no local, modelando interacciones de competencia, depredador-presa y simbiosis. Investigamos la estabilidad de soluciones semi-triviales y los estados de coexistencia. En el tercer modelo, abordamos la competencia de Lotka-Volterra con difusión no local, donde la difusión depende de la población de cada especie. Garantizamos la coexistencia a partir del principio de exclusión competitiva. Los resultados destacan la importancia de la difusión no local en la modelización de interacciones biológicas y en la dinámica de la coexistencia.