Operadores semi-Fredholm e soluções periódicas

Abstract

Neste trabalho, lidamos com a equação linear não-homogênea de retardo infinito dx/dt = Ax(t) + B(t, xₜ) + F(t) (L), na qual A é o gerador infinitesimal de um C₀-semigrupo (T(t)), t ⩾ 0, num espaço de Banach E. Assumindo que esta admite uma solução limitada, nosso objetivo é obter critérios para a existência de soluções periódicas para a equação em questão no espaço de fase abstrato ℬ. Com esse propósito, empregaremos a teoria de perturbação dos operadores denominados semi-Fredholm, para mostrarmos que uma determinada aplicação linear afim definida em B satisfaz o teorema de ponto fixo estabelecido por Chow e Hale ([5], Theorem 4.1, página 36). Provaremos que a existência de pontos fixos para a aplicação linear afim supracitada é equivalente a existência de solução periódica para a equação em questão. A elaboração deste texto tem, em [22], sua primordial referência

In this work, we deal with the inhomogeneous linear equation with infinite delay dx/dt = Ax(t) + B(t, xₜ) + F(t) (L), in which A is the infinitesimal generator of a C₀-semigroup (T(t)), t ⩾ 0, on a Banach space E. Assuming that it admits a bounded solution, our objective is to obtain criteria on the existence of periodic solutions for the aformentioned equation in the abstract phase space ℬ. Therefore, we will employ the perturbation theory of operators so called semi-Fredholm operators, to show that a certain affine linear map defined in ℬ satisfies the fixed point theorem by Chow and Hale ([5], Theorem 4.1, page 36). We will prove that the existence of fixed points for the aforementioned affine linear application is equivalent to the existence of a periodic solution for the given equation. The development of this text has, in [22], its primary reference.