Equações diofantinas associadas a funções aritméticas

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Data

2020-10-27

Autores

Duarte, José Roberto

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Editor

Universidade Estadual Paulista (Unesp)

Resumo

Esta dissertação de mestrado trata do conceito de equações diofantinas, funções aritméticas e uma relação entre as equações diofantinas que se utilizam de funções Aritméticas. A parte inicial é dedicada a um levantamento histórico percorrido pela Teoria dos Números desde a Antiguidade até a atualidade e uma abordagem sobre um proeminente matemático que viveu provavelmente no século III, em Alexandria, a quem agora chamamos de "Pai da Álgebra". Apenas algumas informações sobre sua vida sobreviveram, mas não podemos dizer com certeza se são verdadeiras, nem se sabe ao certo o nome exato deste matemático - existem várias mutações possíveis, nomeadamente: Diofanto, Diofante ou Diophantus. Para maior clareza, apresentaremos o nome deste matemático na forma de Diophantus. Foi esse matemático que lidou, entre outras coisas, com equações indefinidas, que em sua homenagem são chamadas equações diofantinas. No entanto, o tópico da equação diofantina é relativamente extenso e normalmente aborda-se a teoria básica, como observamos após pesquisarmos no site do PROFMAT. Por isso, não nos ativemos a demonstrar os vários métodos de resolução e discutirmos sobre os mais variados tipos de equações diofantinas, uma vez que os mesmos já foram extenuadamente apresentados e discutidos. Portanto nesse trabalho, fizemos uma abordagem de certas equações diofantinas envolvendo fatoriais e algumas funções aritméticas bem conhecidas : $\phi$ a função totiente de Euler, $\sigma$ a função soma dos divisores e $\tau$ a função número de divisores, bem como as mesmas se relacionam, além do exame e da análise de funções da forma $\dfrac{f(n!)}{m!}= a $, onde $f$ é uma das funções aritméticas $\phi \,\,ou\,\, \sigma,$ e incorporando alguns problemas que fazem uso das funções aritméticas aqui estudadas. O objetivo deste trabalho é criar um material que sirva de motivação para os leitores, para continuar a trabalhar no campo da pesquisa, e por conseguinte poder dar contribuições ao campo da Matemática. Que os professores possam usar este trabalho como um bom lembrete das equações diofantinas para sua preparação durante as aulas regulares e adicionais e que possa servir como um "trampolim" para o estudo de equações diofantinas mais complexas.
This master's thesis deals with the concept of diophantine equations, arithmetic functions and relations between diophantine equations that use arithmetic functions. The initial part is dedicated to a historical survey covered by Number Theory from ancient times to the present and an approach to a prominent mathematician who probably lived in the 3rd century, in Alexandria, whom we now call "Father of Algebra". Only a few pieces of information about his life survived but we cannot say for shure that they are true nor if he known by this exact name - there are several possible mutations for the name: Diophanto, Diophante or Diophantus. For clarity, we will present the name of this mathematician in the form of Diophantus. \par It was this mathematician who dealt, among other things, with indefinite equations, which in his honor are called diophantine equations. However, the topic of the diophantine equation is relatively extensive and usually approaches basic theory, as we observed after researching the PROFMAT website. Therefore, let us not activate ourselves into demonstrating the various methods of resolution and discuss the most varied types of diophantine equations, since they have already been extensively presented and discussed. Thus, in this work, we have approached certain diophantine equations involving factorial and some well known arithmetic functions: $\phi$ Euler's totient function, $\sigma$ the sum of divisors function and $\tau$ the number of divisors function, as well as they relate, besides the examination and analysis of functions of the form $\dfrac{f(n!)}{m!}= a $, where $f$ is one of the arithmetic functions $\phi \, or, \, \sigma,$ and incorporating some problems that make use of the arithmetic functions studied here. The aim of this work is to create material that will motivate readers, to continue working in the field of research, and therefore be able to make contributions to the field of Mathematics. May teachers use this work as a good reminder of diophantine equations for their preparation during regular and additional classes and that it can serve as a ``diving board'' for the study of more complex diophantine equations.

Descrição

Palavras-chave

Equações diofantinas, Funções aritméticas, Fatorial, Diophantus, Algoritmo euclidiano, Diophantine equations, Arithmetic functions, Factorial, Euclidian algorithim

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