Transições de fase em sistemas dinâmicos não lineares

Abstract

Neste trabalho estudamos as transições de fase que ocorrem em sistemas dinâmicos não lineares devido à variação de parâmetros de controle. Em uma transição de fase de segunda ordem, ou transição de fase contínua, a variável dinâmica que identifica o parâmetro de ordem vai a zero continuamente à medida que o equivalente da susceptibilidade do parâmetro de ordem diverge em tal limite. Nesse caso, próximo à transição de fase os observáveis que caracterizam a dinâmica são descritos por leis de potência levando, muitas vezes, a dinâmica a ser invariante de escala. Tal invariância é uma das características presentes em uma transição de fase contínua. Inicialmente, utilizaremos um modelo de dipolos clássicos para ilustrar a presença de uma transição de fase em sistemas dinâmicos. Em seguida, abordaremos dois sistemas não lineares, um bilhar exótico e o bilhar ovóide. O primeiro é uma versão do modelo bouncer em que o campo no qual a partícula está inserido não é homogêneo. O mapa do sistema foi construído para fornecer a velocidade da partícula e a fase da parede após cada colisão. Para certas combinações de valores de parâmetros e condições iniciais a dinâmica apresenta comportamento caótico. Os pontos fixos e suas estabilidades tam- bém foram encontrados numericamente para valores diferentes de parâmetro. Finalmente, estudamos a transição do regime integrável para o não integrável utilizando análise de escala e caracterizamos essa transição identificando a quebra de simetria, o parâmetro de ordem, as excitações elementares e os defeitos topológicos. Por último, estudamos o bilhar ovóide com o intuito de caracterizar a transição do regime de crescimento ilimitado de energia para o crescimento limitado. Utilizamos a equação de difusão para obter analiticamente uma expressão para a probabilidade de encontrar uma partícula com velocidade V em um determinado tempo n. A partir dessa probabilidade, foi possível obter outros observáveis, como a velocidade média, que foi utilizado para identificar um possível parâmetro de ordem desta transição. Além disso, discutimos outras conexões com fenômenos típicos de transições de fase que ocorrem na física estatística e termodinâmica.

The thematic of this work is the investigation and characterization of phase transitions observed in nonlinear dynamical systems due to the variation of control parameters. For a second order phase transition, also called as continuous phase transition, the dynamical variable identifying the order parameter approaches zero continuously while the correlation length diverges. Near a phase transition the observables characterizing the dynamics can be described by power laws leading the dynamics to be scaling invariant, which is a characteristic of a continuous phase transition. Initially, we will use a classical dipole model to illustrate the presence of a phase transition in dynamic systems. We will then look at two non-linear systems, an exotic billiard and an oval billiard. The first is a version of the bouncer model in which the field that interacts with the particle is not homogeneous. The system’s map was constructed to provide the velocity of the particle and the phase of the wall after each collision. Depending on both initial conditions and control parameters, the dynamics displays chaotic behavior. Fixed points and their stability were also found numerically for different parameters values. We also studied the transition from the integrable to the non-integrable regime using scale analysis and characterized this transition by identifying the broken symmetry, the order parameter, the elementary excitations and the topological defects. Finally, we studied the oval billiard to characterize the transition between the unlimited energy growth regime and the limited energy growth one. We utilized the diffusion equation to obtain analytically the expression of the probability of finding a particle of velocity V at time n. This probability allowed us to find other observable such as the mean velocity which was used to identify a possible order parameter for this transition. In addition, we discuss other connections with typical phase transition phenomena that occur in statistical physics and thermodynamics.