Estabilidade estocástica via funções de Lyapunov e aplicações em modelos epidemiológicos

Abstract

O presente trabalho apresenta uma pesquisa de mestrado em Matemática Aplicada e Computacional, onde são apresentados os tópicos de estabilidade estocástica via funções de Lyapunov e uma aplicação inicial teórica estudada, em crescimento populacional, com uso de simulações numéricas com programação em linguagem Python para gerar gráficos e melhor entender o comportamento do modelo estudado. Para isso, primeiramente são apresentados os conceitos de estabilidade via função de Lyapunov em sistemas determinísticos, contendo Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), os quais foram necessários para um melhor embasamento do caso estocástico. Assim, são apresentados noções básicas de probabilidade e processos estocásticos, conceitos de integração estocástica (contendo integral de Itô e integral de Wiener), fórmula de Itô, e Equações Diferenciais Estocásticas (EDEs), para então ser abordado a estabilidade estocástica via funções de Lyapunov e a aplicação inicial apresentada. Ademais, é apresentado o estudo de estabilidade estocástica em modelagem epidemiológica, utilizando modelos SIR estocásticos, a partir dos quais é apresentado, como uma das contribuições deste trabalho, a demonstração de uma proposição que garante a estabilidade do sistema, sob certas condições. É apresentado simulações numéricas em linguagem Python, com uso do método de Milstein, de modo a verificar através dos gráficos, as condições de estabilidades demonstradas analiticamente. Além disso, pode ser considerada uma segunda contribuição deste trabalho, a estimação de parâmetros do modelo SIRD Estocástico, com os dados reais do início da pandemia de Covid-19 na cidade de Bauru e Rio Claro, de modo a permitir a se fazer previsões do número de infectados, comparando os modelos SIRD Determinístico e Estocástico. Dessa forma, foi possível mostrar que o modelo estocástico pode trazer melhores resultados e ser mais assertivo em previsões epidemiológicas. Ademais, são apresentados nos Apêndices todos os códigos, em linguagem Python, das simulações numéricas apresentadas ao longo do trabalho, de modo que o leitor possa acessá-los na plataforma Google Colab, com a possibilidade de modificá-los, estendê-los ou adaptá-los, segundo suas necessidades em pesquisas futuras.

This work presents a master's degree research in Applied and Computational Mathematics, that the topics of stochastic stability via Lyapunov functions are presented and an initial theoretical application studied, in population growth, in the use of numerical simulations with Python programming language to generate graphs and better to understand the behavior of the studied model. For that, firstly, the concepts of stability via the Lyapunov function in deterministic systems are presented, containing Ordinary Differential Equations (ODEs), which were necessary for a better basis of the stochastic case. Posteriorly, basic notions of probability and Stochastic Processes, concepts of Stochastic Integration (containing Itô integral and Wiener integral), Itô formula, and Stochastic Differential Equations (SDEs) are presented, and stochastic stability is then addressed via Lyapunov functions and the initial application presented. In addition, the study of stochastic stability in epidemiological modeling is presented, using stochastic SIR models, from which, as one of the contributions of this work, the demonstration of a proposition that guarantees the stability of the system under certain conditions. Numerical simulations in Python language, using the Milstein method, in order to verify, through graphs, the analytically demonstrated stability conditions. Besides, a second contribution of this work can be considered, that the parameter estimation of the Stochastic SIRD model was carried out, with real data from the beginning of the Covid-19 pandemic in the cities Bauru and Rio Claro, in order to allow for vary the number of infected people, comparing the Deterministic and Stochastic SIRD models. In this way, it was possible to show that the stochastic model can bring better results and be more accurate in epidemiological predictions. Furthermore, all the codes, in Python language, of the numerical simulations showed throughout the work are presented in the Appendices, so that the reader can access them on the Google Colab platform, with the possibility of modifying, extending or adapting them according to your needs in future research.