Geometria de superfícies de revolução de frontais

Abstract

Este trabalho tem como objetivo estudar superfícies de revolução singulares, expandindo o entendimento clássico dessas superfícies no âmbito da geometria diferencial. Tradicionalmente, superfícies de revolução são estudadas tendo como curvas geratrizes, curvas regulares que não interceptam o eixo de rotação, garantindo assim que a superfície seja regular. No entanto, abordamos casos em que essas condições não sejam satisfeitas, obtendo assim superfícies singulares, e utilizamos ferramentas da teoria das singularidades para classificar os pontos singulares das superfícies a partir da análise de suas curvas geratrizes. O segundo capítulo oferece uma introdução às teorias de singularidades e de geometria diferencial clássica, introduzindo alguns resultados que relacionaremos com outros semelhantes nos estudos seguintes. No terceiro e no quarto capítulo, examinamos curvas e superfícies singulares. Introduzimos conceitos como frontais, frentes de onda, curvas de Legendre e “framed surfaces”, estabelecendo a base para o estudo das superfícies de revolução. No capítulo final estudamos superfícies de revolução de frontais. Apresentamos resultados, dentre eles os que fornecem maneiras de construir uma superfície de revolução com curvatura Gaussiana ou curvatura média dadas, e critérios para classificação de singularidades. Concluímos com informações sobre as superfícies focais e paralelas dessas superfícies de revolução, observando que ocorre algo similar com o caso de superfícies regulares.

This work aims to study singular surfaces of revolution, expanding the classical understanding of these surfaces within the framework of differential geometry. Traditionally, these surfaces are studied having profile curves that are regular curves and do not intersect the axis of rotation, ensuring the regularity of the surface. However, we address cases where these conditions are not met, obtaining singular surfaces, and then use tools from singularity theory to classify the singular points of the surfaces by analyzing their profile curves. The second chapter provides an introduction to singularity theory and classical differential geometry, presenting some results that will be related to others in the following studies. In the third and fourth chapters, we examine singular curves and surfaces. We introduce concepts such as frontals, wavefronts, Legendre curves, and framed surfaces, establishing the foundation for the study of revolution surfaces. In the final chapter, we study revolution surfaces of frontals. We present results, including those that provide methods for constructing a surface of revolution with a given Gaussian curvature or mean curvature, and criteria for classifying singularities. We conclude with informations about the focal and parallel surfaces of these surfaces of revolution, noting that similar things occure when dealing with regular surfaces.