A study of limit cycles and global centers for some systems

Abstract

Esta tese é baseada em três assuntos estudados concomitantemente. No primeiro assunto, estudamos ciclos limite para uma classe de sistemas diferenciais contínuos por partes, onde lidamos com ciclos limite (existência e número máximo) em sistemas diferenciais contínuos por partes com uma separação de uma linha não regular, onde temos um centro linear e um centro isócrono (quatro tipos diferentes) em cada uma das duas regiões que o plano é dividido por uma linha não regular. No segundo assunto, estudamos novas famílias de centros cúbicos globais, onde lidamos com a pesquisa de centros globais em um determinado sistema baseado em um teorema que esclarece a existência de centros locais sobre certas condições dos parâmetros envolvidos. No terceiro assunto, estudamos ciclos limite para um sistema diferencial quadrático linear contínuo por partes, onde lidamos com um sistema diferencial contínuo por partes composto por um campo quadrático e um campo linear separados pela linha $x=0$, que não apresenta ciclos limite quando consideramos eles isoladamente, mas quando aplicamos a regularização de Sotomayor-Teixeira, este sistema contínuo por partes apresenta um ciclo limite na origem e, mais ainda, o sistema se transforma em um sistema slow fast.

This thesis is based on three subjects studied. In the first subject, we study limit cycles for a class of discontinuous piecewise differential systems, where we deal with limit cycles (existence and maximum number) in discontinuous piecewise differential system separated by a non regular line where we have a linear center and a isochronous center (4 different types) in each one of the two regions that the plane is divided by the non regular line. In the second subject, we study new families of global cubic centers, where we deal with the search of global centers in a determined system, based on a theorem that elucidades under some parameters conditions the existence of local centers. In the third subject, we study limit cycles for a quadratic-linear discontinuous piecewise differential system, where we deal with a discontinuous piecewise differential system composed by a quadratic and a linear system separated by the line x = 0, that do not present limit cycles when we consider them isolatedly, but when we apply the Sotomayor-Teixeira regularization, this piecewise discontinuous system presents a limit cycle at the origin and, moreover, the system transforms in a slow fast system