Geometria de informação aplicada a sistemas dinâmicos: uma leitura geométrica no contexto de bifurcações

Abstract

A teoria convencional de bifurcações locais (TCB) falha em apresentar uma caracterização completa da estabilidade e, ainda, mas não totalmente, aspectos gerais de fenômenos complexos. Afinal, a TCB só permite explorar o comportamento de sistemas dinâmicos não lineares na vizinhança de pontos fixos e órbitas periódicas. Esse último, portanto, impõe a necessidade de técnicas globais não triviais e soluções numéricas extensas. Neste trabalho, apresenta-se uma tentativa de superar esses problemas ao introduzir a teoria de informação de Fisher no estudo de bifurcações. Aqui, investiga-se uma estrutura métrica riemanniana para bifurcações locais e globais descritas no contexto de sistemas dinâmicos. A métrica introduzida é baseada no conceito de distância de informação. São estudados cinco modelos contrastantes de bifurcações em detalhes: sela-nó, transcrítica, forquilha subcrítica, forquilha supercrítica e, por fim, bifurcações homoclínicas. É revelado que a métrica impõe um escalar de curvatura R no espaço de parâmetros dos sistemas investigados. Além disso, mostra-se que R diverge para o infinito enquanto se aproxima dos pontos de bifurcação. Demonstra-se aqui que as condições de estabilidade são recuperadas a partir de interpretações dos sinais da curvatura R e do caráter da métrica de Fisher. Os resultados obtidos evidenciam uma melhoria clara em relação à teoria convencional

The conventional local bifurcation theory (CBT) fails to present a complete characterization of the stability and general aspects of complex phenomena. After all, CBT only explores the behavior of nonlinear dynamical systems in the neighborhood of their fixed points. Thus, this limitation imposes the necessity of non-trivial global techniques and lengthy numerical solutions. In this article, we present an attempt to overcome these problems by including the Fisher information theory in the study of bifurcations. Here, we investigate a Riemannian metrical structure of local and global bifurcations described in the context of dynamical systems. The introduced metric is based on the concept of information distance. We examine five contrasting models in detail: saddle-node, transcritical, supercritical pitchfork, subcritical pitchfork, and homoclinic bifurcations. We found that the metric imposes a curvature scalar R on the parameter space. Also, we discovered that R diverges to infinity while approaching bifurcation points. We demonstrate that the local stability conditions are recovered from the interpretations of the curvature R, while global stability is inferred from the character of the Fisher metric. The results are a clear improvement over those of the conventional theory.