Anel de inteiros algébricos e discriminante de uma família de corpos de números cujo grau é uma potência de 2
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Date
Authors
Advisor
Andrade, Antonio Aparecido de
Coadvisor
Graduate program
Matemática - IBILCE 33004153071P0
Undergraduate course
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Type
Doctoral dissertation
Access right
Acesso aberto
Abstract
Abstract (portuguese)
O objetivo deste trabalho é apresentar a estrutura do anel de inteiros algébricos e o discriminante do anel de inteiros algébricos de corpos de números do tipo L=Q (θ), onde θ=\sqrt[2^k]{d} e d ≠1 é um inteiro livre de quadrados. Inicialmente, apresentamos a estrutura dos anéis de inteiros algébricos dos corpos L=Q(\sqrt[2^k]{d}) com d ≡ 2,3(mod 4) onde, nesse caso, L é monogênico. Na sequência, apresentamos bases integrais e os respectivos discriminantes para alguns corpos da forma Q(\sqrt[2^k]{d}), para k=2,3,4, 5, onde exploramos as estruturas dos anéis de inteiros algébricos de acordo com os valores de d. Posteriormente, como resultados principais desta tese, generalizamos essas bases e, com isso, também determinamos uma fórmula para o discriminante do anel de inteiros algébricos desses corpos L. Nessa linha, apresentamos essas generalizações da seguinte forma: quando d ≡ 5 (mod 8), quando d ≡ 9 (mod 16) e, por fim, englobando todos os casos, apresentamos uma base integral e o discriminante do anel de inteiros algébricos dos corpos puros Q(\sqrt[2^k]{d}) para d ≡ 2^l+1 (mod 2^{l+1} ), onde 2 ≤ l ≤ k-1 e para d ≡ 1(mod 2^{k+1}).
Abstract (english)
The objective of this work is to present an integral basis and the discriminant of algebraic number fields of the type L=Q(θ), where θ=\sqrt[2^k]{d} and d\neq 1 is a square-free integer. Initially, we present the rings of algebraic integers of fields L=Q(\sqrt[2^k]{d}) with d ≡ 2,3(mod\ 4) where, in this case, L is monogenic. Afterwards, we present integral bases and the respective discriminants for some fields of the form Q(\sqrt[2^k]{d}), for k=2,3,4, 5, exploring their algebraic integer rings according to the values of d. Subsequently, as the main results of this thesis, comprising the main part of this work, we generalize these bases and, with this, we also determine a formula for the discriminant of these fields L. Along these lines, we present these generalizations as follows: when d ≡ 5 (mod 8), when d ≡ 9 (mod 16), and finally, encompassing all cases, we present an integral basis and the discriminant of pure fields Q(\sqrt[2^k]{d}) for d ≡ 2^l+1 (mod 2 ^{l+1}) where 2 ≤ l ≤ k-1 and for d ≡ 1(mod 2^{k+1}).
Description
Keywords
Corpo de números, Corpos puros, Anel de inteiros algébricos, Base integral, Discriminante, Number field, Pure fields, Ring of algebraic integers, Integral bases, Discriminant
Language
Portuguese
Citation
ESTEVES, Livea Cichito. Anel de inteiros algébricos e discriminante de uma família de corpos de números cujo grau é uma potência de 2. (Doutorado em Matemática). 2024. 187 f. - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas (Ibilce), São José do Rio Preto, 2024.
