Anel de inteiros algébricos e discriminante de uma família de corpos de números cujo grau é uma potência de 2

Abstract

O objetivo deste trabalho é apresentar a estrutura do anel de inteiros algébricos e o discriminante do anel de inteiros algébricos de corpos de números do tipo L=Q (θ), onde θ=\sqrt[2^k]{d} e d ≠1 é um inteiro livre de quadrados. Inicialmente, apresentamos a estrutura dos anéis de inteiros algébricos dos corpos L=Q(\sqrt[2^k]{d}) com d ≡ 2,3(mod 4) onde, nesse caso, L é monogênico. Na sequência, apresentamos bases integrais e os respectivos discriminantes para alguns corpos da forma Q(\sqrt[2^k]{d}), para k=2,3,4, 5, onde exploramos as estruturas dos anéis de inteiros algébricos de acordo com os valores de d. Posteriormente, como resultados principais desta tese, generalizamos essas bases e, com isso, também determinamos uma fórmula para o discriminante do anel de inteiros algébricos desses corpos L. Nessa linha, apresentamos essas generalizações da seguinte forma: quando d ≡ 5 (mod 8), quando d ≡ 9 (mod 16) e, por fim, englobando todos os casos, apresentamos uma base integral e o discriminante do anel de inteiros algébricos dos corpos puros Q(\sqrt[2^k]{d}) para d ≡ 2^l+1 (mod 2^{l+1} ), onde 2 ≤ l ≤ k-1 e para d ≡ 1(mod 2^{k+1}).

The objective of this work is to present an integral basis and the discriminant of algebraic number fields of the type L=Q(θ), where θ=\sqrt[2^k]{d} and d\neq 1 is a square-free integer. Initially, we present the rings of algebraic integers of fields L=Q(\sqrt[2^k]{d}) with d ≡ 2,3(mod\ 4) where, in this case, L is monogenic. Afterwards, we present integral bases and the respective discriminants for some fields of the form Q(\sqrt[2^k]{d}), for k=2,3,4, 5, exploring their algebraic integer rings according to the values of d. Subsequently, as the main results of this thesis, comprising the main part of this work, we generalize these bases and, with this, we also determine a formula for the discriminant of these fields L. Along these lines, we present these generalizations as follows: when d ≡ 5 (mod 8), when d ≡ 9 (mod 16), and finally, encompassing all cases, we present an integral basis and the discriminant of pure fields Q(\sqrt[2^k]{d}) for d ≡ 2^l+1 (mod 2 ^{l+1}) where 2 ≤ l ≤ k-1 and for d ≡ 1(mod 2^{k+1}).