Fórmulas probabilísticas para problemas de Dirichlet e simulações

Abstract

Neste trabalho, a análise das soluções de equações diferenciais parciais elípticas através de processos estocásticos é explorada, um tópico clássico e fascinante na área da Análise Estocástica. Apresentamos conceitos do Cálculo Estocástico, como movimento Browniano, integral de Itô e tempo de parada, entre outros, oferecendo uma abordagem probabilística para soluções das equações diferenciais. Nosso enfoque principal reside na aplicação do movimento Browniano na resolução de problemas Dirichlet com condições de contorno, investigando a teoria subjacente a esses resultados, analisando as fórmulas probabilísticas obtidas e suas propriedades. Além disso, buscamos validar esses resultados por meio de simulações computacionais.

In this work, the analysis of solutions to elliptic partial differential equations through stochastic processes is explored, a classic and fascinating topic in the field of Stochastic Analysis. We present concepts from Stochastic Calculus, such as Brownian motion, Itô’s integral, and stopping time, among others, offering a probabilistic approach to solutions of differential equations. Our primary focus lies in applying Brownian motion to solve Dirichlet problems with boundary conditions, investigating the theory underlying these results, analyzing the obtained probabilistic formulas and their properties. Additionally, we aim to validate these results through computational simulations.