Equações de diferenças satisfeitas por coeficientes de Verblunsky

Abstract

O principal objetivo desta tese foi investigar os polinômios ortogonais na circunferência unitária associados a certas funções peso semiclássicas. Determinamos todas as funções peso semiclássicas cujas equações diferenciais do tipo Pearson, satisfeitas por elas, envolvem polinômios de grau menor do que ou igual a 2 e, isso também incluiu, uma extensão da função peso de Jacobi na circunferência unitária. Foram estabelecidas relações de estrutura para os polinômios ortogonais e equações de diferenças não lineares para os coeficientes de Verblunsky complexos associados. Como aplicação, apresentamos diversas relações de estruturas e equações de diferenças associadas a algumas dessas funções peso semiclássicas. Além disso, a fim de obter outras propriedades diferenciais, utilizando uma abordagem conhecida como problema de Riemann-Hilbert, encontramos equações diferenciais de primeira e de segunda ordem para alguns polinômios ortogonais na circunferência unitária.

The main objective in this thesis is to study the orthogonal polynomials on the unit circle associated with certain semiclassical weight functions. We determine all semiclassical weight functions such that the Pearson-type differential equations satisfied by them involve polynomials of degree at most 2, and this also includes an extension of the Jacobi weight function on the unit circle. General structure relations for the orthogonal polynomials and non-linear difference equations for the associated complex Verblunsky coefficients are established. As application, we present several new structure relations and difference equations associated with some of these semiclassical weight functions. Furthermore, in order to obtain other differential properties, using an approach known as Riemann-Hilbert problem, we found first and second order differential equations for some orthogonal polynomials on the unit circle.