Singularidades de Thom-Boardman e multiplicidade associada a extensões jacobianas iteradas

Abstract

Este trabalho está estruturado em torno de três objetivos fundamentais. O primeiro consiste em definir e caracterizar as singularidades de Thom-Boardman no espaço dos jatos. Essas singularidades estão intrinsecamente ligadas a vetores conhecidos como símbolos de Boardman e a um tipo especial de germes. O segundo objetivo foca na definição da multiplicidade de Hilbert-Samuel de um anel quociente, associada a um germe de aplicação na origem e a um símbolo de Boardman fixado. O ideal que define este quociente é denominado extensão jacobiana iterada do germe inicial associado ao símbolo de Boardman. Este é um número que generaliza o número de Milnor de um germe de função na origem. Por fim, o terceiro objetivo busca caracterizar essa multiplicidade para o tipo especial de germes mencionados anteriormente, particularizando para famílias de germes quase-homogêneos, apresentando fórmulas para essa multiplicidade que dependam apenas dos graus e pesos associados.

This work is structured around three fundamental objectives. The first consists of defining and characterizing Thom-Boardman singularities in the space of jets. These singularities are intrinsically linked to vectors known as Boardman symbols and to a special type of germs. The second objective focuses on the definition of the Hilbert-Samuel multiplicity of a quotient ring, associated with an application germ at the origin and a fixed Boardman symbol. The ideal that defines this quotient is called the iterated Jacobian extension of the initial germ associated with the Boardman symbol. This is a number that generalizes the Milnor number of a function germ at the origin. Finally, the third objective seeks to characterize this multiplicity for the special type of germs mentioned above, particularizing for families of quasi-homogeneous germs, presenting formulas for this multiplicity that depend only on the degrees and weights associated.