O método da Média de Primeira Ordem

Abstract

Neste estudo, analisamos a quantidade de ciclos limite de uma equação diferencial diante de pequenas perturbações caracterizada por um parâmetro suficientemente pequeno. Empregamos o Método da Média de Primeira Ordem para simplificar a busca por órbitas periódicas em sistemas de equações diferenciais, transformando-a em uma tarefa de encontrar zeros de uma função de dimensão finita sob condições específicas. Além disso, aplicamos esse método a um conjunto de funções bem conhecidas, as funções Hamiltonianas, e utilizamos o Sistema Hamiltoniano de ArmbursterGuckenheimer-Kim como exemplo. Ao longo da análise, apresentamos três resultados principais do Método da Média. O primeiro estabelece condições para concluir que as soluções do sistema médio e do sistema perturbado são próximas. O segundo resultado mostra que, sob certas condições, o sistema perturbado possui uma solução T-periódica. Por fim, o terceiro resultado determina a estabilidade ou instabilidade desta solução. Essa análise aprofundada contribui significativamente para o entendimento da dinâmica dos sistemas estudados, possibilitando avanços na compreensão dos fenômenos observados.

In this study, we analyze the number of limit cycles of a differential equation in the face of small perturbations characterized by a sufficiently small parameter. We use the First Order Averaging Method to simplify the search for periodic orbits in systems of differential equations, transforming it into a task of finding zeros of a finite-dimensional function under specific conditions. In addition, we apply this method to a set of well-known functions, the Hamiltonian functions, and use the ArmbursterGuckenheimer-Kim Hamiltonian System as an example. Throughout the analysis, we present three main results of the Averaging Method. O first establishes conditions for concluding that the solutions of the averaged system and the perturbed system are close. The second result shows that, under certain conditions, the perturbed system has a T-periodic solution. Finally, the third result determines the stability or instability of this solution. This in-depth analysis contributes significantly to the understanding of the dynamics of the systems studied, enabling advances in the understanding of the phenomena observed.