Sobre um problema do tipo côncavo-convexo, envolvendo termos não-lineares na fronteira

Abstract

Nesse trabalho, foi estudado acerca da existência de duas soluções fracas u, v ∈ W1,p (Ω) para o problema elíptico quasilinear do tipo côncavo-convexo, envolvendo o operador p-Laplaciano, com condição de fronteira de Neumann não-linear. Mais especificamente, é mostrado que existe λ ̅ > 0 tal que, para 0 < λ < λ ̅ , existem u, v ∈ W1,p(Ω) tais que são soluções fracas com energias distintas para o problema:

-Δp u+│u│^(p-2) u = │u│^(r-2) u em Ω

│∇u│^(p-2) ∂u/∂η = λ│u│^(q-2) u sobre ∂Ω

com 1 < q < p < p*, p < r < p*, Ω ⊂ R^N, N ≥ 3 é um domínio limitado suave, λ > 0 e η é um vetor unitário normal à ∂Ω. Para este estudo, foi utilizado o Método da variedade de Nehari, que consiste em restringir o funcional energia a um subconjunto N, chamada variedade de Nehari, a qual se mostra um vínculo natural para o problema.

In this work, we studied the existence of two weak solutions u, v ∈ W1,p(Ω) for a quasilinear elliptic problem of concave-convex type, involving the p-Laplacian operator with a nonlinear Neumann boundary condition. More specifically, it is shown that there exists λ ̅ > 0 such that, for 0 < λ < λ ̅ , there exist u, v ∈ W1,p(Ω) which are weak solutions with distinct energy levels for the problem:

-Δp u+│u│^(p-2) u = │u│^(r-2) u in Ω

│∇u│^(p-2) ∂u/∂η = λ│u│^(q-2) u on ∂Ω

with 1 < q < p < p*, p < r < p*, Ω ⊂ R^N, N ≥ 3 a smooth bounded domain, λ > 0 and η a unit outward normal vector to ∂Ω. For this study, we employed the Nehari manifold method, which consists in restricting the energy functional to a subset N, called the Nehari manifold, which provides a natural constraint for the problem.