Sistemas dinâmicos simbólicos em alfabetos infinitos

Abstract

Uma substituição é uma aplicação de um conjunto A (alfabeto) no conjunto das palavras finitas de A. A cada substituição σ, podemos associar de maneira natural um sistema dinâmico. Quando o alfabeto A é finito, é conhecido que o sistema dinâmico associado satisfaz diversas propriedades dinâmicas e topológicas. Em particular, se σ é primitiva, o sistema dinâmico associado é minimal, unicamente ergódico e tem entropia topológica nula. Neste trabalho, consideramos o caso onde o alfabeto A é infinito enumerável. Em particular demos condições para que o sistema dinâmico associado possua uma única medida de probabilidade invariante. Estudamos ergodicidade, unicidade ergódica e minimalidade dos sistemas dinâmicos associados a essas substituições. O nosso trabalho envolve matrizes enumeráveis e o teorema de Perron associado.

A substitution is an aplication from a set A (called alphabet) to the set of the finite words of A. Each substituition σ can be associated to a dynamical system in a natural way. If A is finite, is well know that has many dynamical and topological properties, particularly, if σ is a primitive substitution, then the associated dynamical system is minimal, uniquely ergodic, and have null topological entropy. In this work we consider the case when A is infinite and countable. In particular we find sufficient conditions to the dynamical system have a unique invariant probability. We study the ergodicity, unique ergodicity ad minimality of the dynamical system associated with the substituition. We use infinite matrices and the associated Perron theorem.