Nilpotent centers on center manifolds, cyclicity of Hopf centers and the period function near a Persistent Polycycle

Abstract

Este trabalho aborda três problemas relevantes e atuais da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias. O primeiro trata-se do problema do centro em uma variedade central de sistemas diferenciais analíticos tridimensionais cuja parte linear do campo vetorial associado é y∂x-λz∂z, para λ≠0. Obtemos uma forma normal formal para esses sistemas, alguns resultados sobre sua integrabilidade e estendemos, para este caso, algumas técnicas utilizadas para investigar centros nilpotentes no plano. Por exemplo, mostramos que centros nilpotentes de sistemas tridimensionais, em variedades centrais analíticas, são limites de centros do tipo Hopf. O segundo problema considerado é o problema da ciclicidade de pontos de Hopf para sistemas quadráticos em R³. Usando expansões de ordem superior dos coeficientes de Lyapunov, obtemos uma nova cota inferior para a ciclicidade destes pontos singulares. Mais precisamente, encontramos um exemplo com 13 ciclos limites bifurcando do ponto singular. No terceiro problema, consideramos famílias de campos vetoriais polinomiais planares que possuem um policiclo hiperbólico Γ persistente. Provamos, sob algumas condições genéricas, que bifurca exatamente um ciclo limite a partir de Γ. Neste caso, obtemos informações quantitativas sobre sua função período em relação aos parâmetros de perturbação.

This work deals with three current and relevant problems in the qualitative theory of differential equations. The first one is the center problem on a center manifold of differential systems such that the linear part of their associated vector field is y∂x-λz∂z, with λ≠0. We obtain a formal normal form for those systems, some results on their integrability and extended, for this case, some techniques employed to study nilpotent centers in the plane. For instance, we show that nilpotent centers of three-dimensional systems on analytic center manifolds are limits of Hopf type centers. The second problem we consider is the cyclicity problem for Hopf singular points in quadratic systems in R³. Using higher order expansions of the Lyapunov coefficients, we obtain a new lower bound for the cyclicity of such singular points. More precisely, we exhibit an example with 13 limit cycles bifurcating from the singular point. In the third problem, we consider families of polynomial planar vector fields having a hyperbolic persistent polycycle Γ. We prove, under generic conditions, that exactly one limit cycle from Γ. In this case, we obtain quantitative information on its associated period function with respect to the perturbation parameters.